16690. Дан вписанный пятиугольник ABCDE
, M
— точка пересечения диагоналей BE
и AD
. Известно, что BCDM
— параллелограмм.
а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.
б) Найдите AB
, если известно, что BE=12
, BC=5
, AD=9
.
Ответ. 10.
Решение. а) Поскольку BM\parallel CD
, четырёхугольник BCDE
— равнобедренная трапеция, (см. задачу 5003). Следовательно, DE=AB
.
б) Аналогично пункту а) получим, что ABCD
— равнобедренная трапеция, а так как DM=BC=5
, то
AM=AD-DM=9-5=4.
Обозначим AB=BM=CD=x
. Тогда (см. задачу 2627)
AM\cdot MD=BM\cdot ME,~\mbox{или}~4\cdot5=x(12-x),
откуда x=2
или x=10
.
Если x=2
, то ME=12-2=10
. Тогда стороны треугольника DEM
равны 10, 5 и 5, что противоречит неравенству треугольника. Следовательно,
AB=x=10.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 17