16714. Продолжения противоположных сторон AB
и CD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
, а сторон BC
и AD
— в точке Q
. Биссектриса угла APD
пересекает прямую AD
в точке K
; биссектриса угла AQB
пересекает прямую AB
в точке L
. Докажите, что окружности, описанные около треугольника ALK
и четырёхугольника ABCD
, касаются.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AK}{KD}=\frac{AP}{PD},~\frac{AL}{LB}=\frac{AQ}{QB}.
По теореме синусов
\frac{AP}{PD}=\frac{\sin\angle ADC}{\sin\angle BAD},~\frac{AQ}{QB}=\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle BAD}.
Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный,
\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}~\Rightarrow~\sin\angle ABC=\sin\angle ADC.
Значит, \frac{AK}{KD}=\frac{AL}{LB}
.
Таким образом, треугольник AKL
получается из треугольника ABD
гомотетией с центром в точке A
и коэффициентом \frac{AL}{AB}
. Значит, описанная окружность треугольника AKL
получается из описанной окружности четырёхугольника ABCD
гомотетией с центром, лежащим на окружности. Следовательно, эти окружности касаются (см. задачу 6401).
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2012-2013, XXXV, заключительный тур, март 2013, задача 3