16742. В треугольнике ABC
на медиане AM
и биссектрисе CL
как на диаметрах построены окружности \Omega
и \omega
соответственно, пересекающиеся в точках P
и Q
. Отрезок PQ
параллелен высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины B
. Окружность \Omega
пересекает сторону AC
повторно в точке N
. Найдите стороны AC
и BC
, если AB=6
и AN=5
.
Ответ. AC=BC=5+\sqrt{7}
.
Решение. Пусть T
— точка пересечения отрезков AM
и CL
, O_{1}
и O_{2}
— середины этих отрезков соответственно. Тогда (см. задачу 1130) O_{1}O_{2}\perp PQ
, а так как PQ\perp AC
, то AC\parallel O_{1}O_{2}
. Значит, треугольники TO_{1}O_{2}
и TAC
подобны по двум углам.
Обозначим TO_{1}=x
, TO_{2}=y
, k=\frac{AO_{1}}{TO_{1}}
. Тогда
TA=(k+1)x,~TC=(k+1)y.
Поскольку O_{1}
и O_{2}
— середины отрезков AM
и CL
, получаем
MT=MO_{1}-TO_{1}=AO_{1}-TO_{1}=kx-x=(k-1)x.
Аналогично, LT=(k-1)y
, а значит,
\frac{LT}{TC}=\frac{(k-1)y}{(k+1)x}=\frac{k-1}{k+1}=\frac{MT}{TA}.
Тогда подобны треугольники LMT
и CAT
, поэтому LM\parallel AC
, а так как M
— середина стороны BC
, то по теореме Фалеса L
— середина стороны AB
. Таким образом, биссектриса CL
треугольника ABC
является его медианой. Следовательно, треугольник равнобедренный, AC=BC
.
Пусть окружность \Omega
пересекает сторону AB
в точке K
, а сторону BC
вторично пересекает в точке V
. Точка K
лежит на окружности с диаметром AM
, поэтому \angle MKA=90^{\circ}
, и поэтому MK
— средняя линия треугольника CBL
. Тогда
BK=\frac{1}{2}BL=\frac{1}{4}AB=\frac{3}{2}.
Пусть CM=c
и VM=t
. Тогда CA=CB=2c
. Поскольку произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной окружности и данной точки постоянно (см. задачу 2636), то
CM\cdot CV=CN\cdot CA~\Leftrightarrow~c(c+t)=(2c-5)\cdot2c,
BM\cdot BV=BK\cdot BA~\Leftrightarrow~(c-t)\cdot c=\frac{3}{2}\cdot6.
Из первого равенства следует, что t=3c-16
. Подставляя во второе равенство, получаем
(10-2c)\cdot c=9~\Leftrightarrow~c=\frac{5\pm\sqrt{7}}{2},
откуда
BC=AC=2c=5\pm\sqrt{7},
а так как AC\gt AN=5
, то условию задачи удовлетворяет только
BC=AC=5+\sqrt{7}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, заключительный этап, 10 класс, задача 7, вариант 5