16795. На стороне CD
квадрата ABCD
отмечена точка K
, для которой \angle ABK=75^{\circ}
. На отрезке BK
отмечена точка M
, для которой \angle DMK=45^{\circ}
. Найдите сторону квадрата, если DM=2
.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Внутри данного квадрата ABCD
построим на стороне AD
равносторонний треугольник AND
(рис. 1) и докажем, что точка N
совпадает с точкой M
из условия.
Действительно, пусть луч BN
пересекает сторону CD
в точке L
. Поскольку AN=AB
, треугольник BAN
равнобедренный, значит,
\angle ABN=\angle ANB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAN)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Следовательно, точка L
совпадает с точкой K
из условия. Кроме того,
\angle DNK=180^{\circ}-(\angle ANB+\angle AND)=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}.
Пусть теперь точки M
и N
не совпадают. Тогда точка M
занимает на отрезке BK
одно из двух положений: M_{1}
или M_{2}
(рис. 2). Тогда угол DNK
— внешний для треугольника DNM_{1}
, поэтому \angle DM_{1}K\lt45^{\circ}
, а угол DM_{2}K
— внешний для треугольника DNM_{2}
, поэтому \angle DM_{2}K\gt45^{\circ}
. Противоречие. Значит, точка N
совпадает с точкой M
из условия. Следовательно, AB=DM=2
.
Второй способ. Проведём диагональ BD
квадрата ABCD
(рис. 3). Тогда
\angle KBD=\angle ABK-\angle ABD=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ},~\angle CKB=\angle ABK=75^{\circ},
\angle MDK=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ},~\angle BDM=\angle BDK-\angle MDK=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}.
Сравним теперь треугольник BDK
с треугольником ABC
из задачи 1679 (рис. 4.): два угла в этих треугольниках равны 45^{\circ}
и 30^{\circ}
(значит, и третьи их углы равны), и из вершины угла, равного 45^{\circ}
, проведён отрезок, который делит его на углы 15^{\circ}
и 30^{\circ}
.
По условию задачи 1679 этот отрезок был медианой треугольника, значит, и в нашем случае, точка M
— середина отрезка BK
. Тогда CM
— медиана прямоугольного треугольника BCK
, проведённая к гипотенузе. Значит, BM=CM=KM
(см. задачу 1109). Таким образом,
\angle MCK=\angle MKC=75^{\circ}=\angle DCM
(например, из суммы углов треугольника CDM
). Следовательно, DC=DM=2
.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 7 класс, задача 3.2