16800. В выпуклом шестиугольнике равны три пары противолежащих углов. Верно ли, что в нём есть параллельные стороны?
Ответ. Верно.
Решение. Пусть ABCDEF
—выпуклый шестиугольник, в котором \angle A=\angle D=x
, \angle B=\angle E=y
, \angle C=\angle F=z
.
Сумма углов шестиугольника равна 180^{\circ}(6-2)=720^{\circ}
(см. задачу 1198), поэтому
x+y+z=360^{\circ}.
Пусть прямые BC
и AF
пересекаются в точке G
. В треугольнике AGB
внешние углы при вершинах A
и B
равны x
и y
, поэтому внешний угол при вершине G
равен
360^{\circ}-(x+y)=z~\Rightarrow~\angle AGB=180^{\circ}-z
(см. задачу 1304). Следовательно, AF\parallel CD
.
Аналогично доказывается параллельность двух других пар противолежащих сторон.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 9 класс, задача 5.2