16810. Дан треугольник ABC
, точка Q
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC
и продолжения двух других сторон треугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC
и ABQ
, если радиус первой (описанной около треугольника ABC
) равен R
.
Ответ. R
.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а O
и O_{1}
— центры описанных окружностей треугольников соответственно ABC
и ABQ
.
В точке Q
пересекаются биссектриса угла ABC
и биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
(см. задачу 1192). Учитывая, что
\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}(\alpha+\beta+\gamma)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ},
получим, что
\angle AQB=180^{\circ}-\angle BAQ-\angle ABQ=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\left(\beta+\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\beta\right)\right)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\gamma}{2}.
Значит,
\angle AO_{1}B=2\angle AQB=\gamma=\angle ACB,
и поэтому точки A
, B
, C
и O_{1}
лежат на одной окружности (см. задачу 12), т. е. точка O_{1}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, OO_{1}=R
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2012-2013, 8 класс, задача 1