16815. Биссектрисы AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Известно, что 2AO=7OA_{1}
и BO=2OB_{1}
. Найдите отношение высоты, опущенной из точки A
, к радиусу вписанной в треугольник ABC
окружности.
Ответ. \frac{9}{2}
.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
и AB=c
. Поскольку по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{a}{c}~\mbox{и}~\frac{CB}{CB_{1}}=\frac{BO}{OB_{1}}=2~\Rightarrow~CB_{1}=b\cdot\frac{a}{a+c}=\frac{ab}{a+c}~\Rightarrow~2=\frac{BO}{OB_{1}}=\frac{a}{\frac{ab}{a+c}}=\frac{a+c}{b},
откуда a+c=2b
. Аналогично,
CA_{1}=a\cdot\frac{b}{b+c}=\frac{ab}{b+c}~\Rightarrow~\frac{7}{2}=\frac{CA}{CA_{1}}=\frac{b}{\frac{ab}{b+c}}=\frac{b+c}{a},
откуда 2b+2c=7a
. Из системы
\syst{a+c=2b\\2b+2c=7a\\}
получаем b=\frac{3}{2}a
и c=2a
. Следовательно,
BC:CA:AB=a:b:c=2:3:4.
Пусть h_{a}
— высота треугольника ABC
, опущенная из вершины A
, r
— радиус вписанной окружности треугольника, p
— полупериметр, а S
— площадь. Тогда
\frac{p}{a}=\frac{\frac{1}{2}(a+b+c)}{a}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2+3+4}{2}=\frac{9}{4}.
Следовательно (см. задачу 452),
\frac{h_{a}}{r}=\frac{S}{p}=\frac{\frac{2S}{a}}{\frac{S}{p}}=\frac{2p}{a}=\frac{9}{2}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2013-2014, март 2014, закл. тур, 10 класс, задача 3, вариант 1-1