16825. В окружность радиуса 3 вписаны треугольники ABC
и AMN
. При этом прямая AM
проходит через середину E
отрезка BC
, а прямая BN
— через середину F
отрезка AC
. Найдите периметр треугольника ABC
, если AM:AE=2:1
и BN:BF=17:13
.
Ответ. \frac{72}{5}
.
Решение. Пусть BC=2a
, AC=2b
, AE=EM=x
, BF=13y
, FN=4y
. Тогда (см. задачу 2627)
AE\cdot EM=BE\cdot EC,~\mbox{или}~x^{2}=a^{2}~\Rightarrow~x=a~\Rightarrow~AE=\frac{1}{2}BC.
Значит, медиана AE
треугольника ABC
равна половине стороны BC
. Следовательно, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине A
(см. задачу 1188), а радиус окружности равен \frac{1}{2}BC=a
, поэтому BC=2a=6
.
В то же время,
AF\cdot FC=BF\cdot FN~\mbox{или}~b^{2}=13\cdot4y^{2}~\Rightarrow~b=2y\sqrt{13}.
Из прямоугольных треугольников ABF
и ABC
находим, что
AB^{2}=BF^{2}-AF^{2}=13^{2}y^{2}-4\cdot y^{2}=13(13-4)y^{2}=9\cdot13y^{2},
AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}~\mbox{или}~9\cdot13y^{2}+16y^{2}=6^{2},
откуда y=\frac{6}{5\sqrt{13}}
.
Следовательно, периметр треугольника ABC
равен
AB+AC+BC=3y\sqrt{13}+4y\sqrt{13}+6=7y\sqrt{13}+6=
=7\cdot\frac{6}{5\sqrt{13}}\cdot\sqrt{13}=\frac{42}{5}+6=\frac{72}{5}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2012-2013, март 2013, закл. тур, 11 класс, задача 3, вариант 5-3