16831. Какова наибольшая возможная площадь четырёхугольника ABCD
, стороны которого равны AB=1
, BC=8
, CD=7
и DA=4
?
Ответ. 18.
Решение. Площадь треугольника ABC
максимальна, если \angle ABC=90^{\circ}
(см. задачу 3570). Поскольку
1^{2}+8^{2}=65=7^{2}+4^{2},
то в этом случае и \angle BCD=90^{\circ}
(см. задачу 1972). Следовательно, максимальная площадь четырёхугольника ABCD
равна
\frac{1}{2}\cdot1\cdot8+\frac{1}{2}\cdot7\cdot4=4+14=18.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2014-2015, март 2015, заочный тур, 8-9 классы, задача 9