16855. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника ABCD
, в котором AB=2
, AD=3
, AC=4
, а площадь треугольника ABC
равна площади треугольника ADC
и в два раза больше площади треугольника ABD
.
Ответ. 8\sqrt{5}
.
Решение. Пусть диагонали BD
и AC
данного четырёхугольника пересекаются в точке O
. Треугольники ABC
и ADC
с общей стороной AC
равновелики, поэтому их высоты BP
и DQ
равны. Значит, прямоугольные треугольники BOP
и DOQ
равны по катету и противолежащему острому углу. Тогда O
— середина BD
.
Обозначим S_{\triangle AOB}=s
. Отрезок AO
— медиана треугольника площадь треугольника ABD
, поэтому (см. задачу 3001) S_{\triangle ABD}=2s
, а так как S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABD}=4s
, то
S_{\triangle BOC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AOB}=4s-s=3s,
поэтому (см. задачу 3000)
\frac{AO}{OC}=\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle BOC}}=\frac{s}{3s}=\frac{1}{3}.
Тогда
AO=\frac{1}{4}AC=\frac{1}{4}\cdot4=1.
На луче OC
отложим отрезок OE=AO=1
. Диагонали AE
и BD
четырёхугольника ABED
делятся точкой O
пересечения пополам. Значит, это параллелограмм, поэтому
BE=AD=3~\mbox{и}~S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABD}=2s.
Треугольник ABE
равнобедренный со сторонами AB=AE=2
. Его высота h
, проведённая из вершины A
, равна
\sqrt{AB^{2}-\frac{1}{4}BE^{2}}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Значит,
s=\frac{1}{2}S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BE\cdot h=\frac{1}{4}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{7}}{2}=\frac{3\sqrt{7}}{8}.
Следовательно,
S_{ABCD}=8s=8\cdot\frac{3\sqrt{7}}{8}=3\sqrt{7}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2018-2019, март 2019, закл. тур, 10-11 классы, задача 4, вариант 7-1