16868. Площадь треугольника ABC
равна 6 и AC:AB=2:3
. Точка H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на биссектрису угла при вершине A
. Найдите площадь треугольника BHC
.
Ответ. 1.
Решение. Положим AC=2a
и AB=3a
. Пусть продолжение отрезка CH
пересекает сторону AB
в точке D
. Биссектриса AH
треугольника ACD
является его высотой, поэтому треугольник ACD
равнобедренный, AD=AC=a
. Тогда
BD=AB-AD=3a-2a=a,
поэтому
\frac{BD}{AB}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}~\Rightarrow~S_{\triangle BCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=2
(см. задачу 3000).
Кроме того, AH
— медиана равнобедренного треугольника ACD
, поэтому BM
— медиана треугольника BCD
. Следовательно (см. задачу 3001)
S_{\triangle BHC}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCD}=1.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2024-2025, ноябрь 2024, отборочный тур, 9 класс, задача 5, вариант 1