16925. Средняя линия трапеции равна 4. Прямая, параллельная основаниям трапеции и делящая её площадь пополам, пересекает боковые стороны в точках M
и N
. Найдите наименьшую возможную длину отрезка MN
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть ABCD
— трапеция с основаниями AD=a
, BC=b
и средней линией l=4
. Тогда
l=\frac{a+b}{2}~\mbox{и}~MN=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
(см. задачу 3034). Значит (см. задачу 3399),
\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geqslant\frac{a+b}{2}=4,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=4
(т. е., когда трапеция вырождается в параллелограмм). Следовательно, наименьшая возможная длина отрезка MN
равна 4.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2017-2018, отборочный тур, 10 класс, задача 5, вариант 1