16962. Найдите наибольшее значение выражения
|x|\sqrt{16-y^{2}}+|y|\sqrt{4-x^{2}}.
Ответ. 8.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат и в ней векторы \overrightarrow{a}=(|x|;\sqrt{4-x^{2}})
и \overrightarrow{b}=(\sqrt{16-y^{2}};|y|)
. Тогда
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^{2}+(\sqrt{4-x^{2}})^{2}}=2,~\mbox{и}~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{(\sqrt{16-y^{2}})^{2}+y^{2}}=4.
Значит,
|x|\sqrt{16-y^{2}}+|y|\sqrt{4-x^{2}}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\leqslant|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|=8
(см. примечание 2 к задаче 4900), причём равенство достигается, когда векторы коллинеарны, так как когда их соответствующие координаты пропорциональны, например, при x=2
и y=2
. Следовательно, наибольшее значение данного выражения равно 8.
Примечание. (См. также решение задачи 16956.)
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д47, с. 94