17001. Решите систему
\syst{\sqrt{x^{2}+(y-4)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}|x-2y-2|=2\sqrt{5}\\x\geqslant2.\\}
Ответ. x=2
, y=0
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
, точки N(x;y)
, M(0;4)
и прямую a
, заданную уравнением x-2y-2=0
. Тогда левая часть первого уравнения — сумма расстояний от точки N
до точки M
и до прямой a
(см. задачу 4249), а неравенство x\geqslant2
— полуплоскость x\geqslant2
.
Заметим, что расстояние от точки M
до прямой a
равно
\frac{|1\cdot0-2\cdot4-2|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}
(см. задачу 4249). Множество точек N
плоскости, обладающих данным свойством, — прямая b
, проходящая через точку M
перпендикулярно прямой a
(очевидно, что для любой точки N
, не принадлежащей прямой b
, сумма расстояний до точки M
и до прямой a
будет больше).
Угловой коэффициент прямой b
равен -2
(см. задачу 4243), поэтому её уравнение имеет вид y=-2x+4
. Решив систему
\syst{x-2y-2=0\\y=-2x+4,\\}
найдём координаты точки P
пересечения прямых a
и b
, т. е. P(2;0)
.
Примечание. См. также статью В.Мирошина «Формулы геометрии помогают алгебре», Квант, 2007, N3, с.46-50.
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 3, с. 48, задача 6