17001. Решите систему
\syst{\sqrt{x^{2}+(y-4)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}|x-2y-2|=2\sqrt{5}\\x\geqslant2.\\}

Ответ.
x=2
,
y=0
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат
xOy
, точки
N(x;y)
,
M(0;4)
и прямую
a
, заданную уравнением
x-2y-2=0
. Тогда левая часть первого уравнения — сумма расстояний от точки
N
до точки
M
и до прямой
a
(см. задачу 4249), а неравенство
x\geqslant2
— полуплоскость
x\geqslant2
.
Заметим, что расстояние от точки
M
до прямой
a
равно
\frac{|1\cdot0-2\cdot4-2|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}

(см. задачу 4249). Множество точек
N
плоскости, обладающих данным свойством, — прямая
b
, проходящая через точку
M
перпендикулярно прямой
a
(очевидно, что для любой точки
N
, не принадлежащей прямой
b
, сумма расстояний до точки
M
и до прямой
a
будет больше).
Угловой коэффициент прямой
b
равен
-2
(см. задачу 4243), поэтому её уравнение имеет вид
y=-2x+4
. Решив систему
\syst{x-2y-2=0\\y=-2x+4,\\}

найдём координаты точки
P
пересечения прямых
a
и
b
, т. е.
P(2;0)
.
Примечание. См. также статью В.Мирошина «Формулы геометрии помогают алгебре», Квант, 2007, N3, с.46-50.
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 3, с. 48, задача 6