17004. На одной из медиан треугольника ABC
нашлась точка P
, для которой \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA
. Докажите, что на другой медиане найдётся точка Q
, для которой \angle QBA=\angle QCB=\angle QAC
.
Ответ. Пусть точка P
лежит на медиане BM
треугольника ABC
. Из равенства \angle PBC=\angle PCA
следует, что прямая CA
касается описанной окружности треугольника BCP
(теорема, обратная теореме об угле между касательной и хордой, см. задачу 144). Тогда по теореме о касательной и секущей
MA^{2}=MC^{2}=MP\cdot MB,
т. е. равны степени точки M
относительно описанных окружностей треугольников BPC
и APB
, а также MA
(а значит, и CA
) — касательная к описанной окружности треугольника APB
(см. задачу 4776). Таким образом, точка M
лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников BPC
и APB
, а также CA=CB
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный. Следовательно, точка Q
, симметричная P
относительно серединного перпендикуляра к основанию AB
, лежит на медиане AN
, и из симметрии для неё верны равенства
\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, XXI, финал, второй день, 10 класс, задача 6