17006. В остроугольном треугольнике ABC
точка D
— основание высоты, проведённой из вершины A
, A'
— точка описанной окружности, диаметрально противоположная точке A
. На отрезке AD
выбрана точка P
, а на отрезках AB
и AC
— точки X
и Y
, причём \angle CBP=\angle ADY
и \angle BCP=\angle ADX
. Пусть PA'
пересекает сторону BC
в точке T
. Докажите, что точки D
, X
, Y
и T
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть описанная окружность треугольника DXY
пересекает сторону BC
в точке T'
. Докажем, что точка T'
совпадает с T
. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Пусть луч AD
пересекает описанную окружность треугольника ABPC
в точке L
. Тогда
\angle PCB=\angle PLB=\angle ADX~\Rightarrow~XD\parallel BL.
Аналогично, DY\parallel CL
. Значит, треугольники DXY
и LBC
гомотетичны с центром в A
, тогда гомотетичны и их описанные окружности.
Пусть прямая, проведённая через точку L
параллельно BC
, вторично пересекает описанную окружность треугольника BPC
в точке N
. Тогда при рассматриваемой гомотетии точка T'
переходит в N
, поэтому точки A
, T'
и N
лежат на одной прямой.
Пусть M
— середина стороны BC
, а G
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A'
на сторону BC
. Тогда M
— проекция центра O
описанной окружности треугольника ABC
на прямую BC
, поэтому M
— середина отрезка DG
(см. задачу 1939). Кроме того, из симметрии относительно прямой OM
следует, что точка G
проекция точки N
на BC
, значит, NA'\perp BC
.
Пусть K
— точка пересечения прямой NA'
с описанной окружностью треугольника ABC
. Тогда, применив теорему о произведении пересекающихся хорд (см задачу 2627), получим
AD\cdot A'G=A'G\cdot GK=GC\cdot GB=DB\cdot DC=DP\cdot DL=DP\cdot GN,
откуда \frac{A'G}{GN}=\frac{DP}{DA}
. Значит, точки P
и A'
соответственны в подобных треугольниках DT'A
и GT'N
, а точки P
, T'
и A'
лежат на одной прямой. Следовательно, точка T'
совпадает с T
. Что и требовалось.
Автор: Прозоров Р. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, финал, первый день, 8 класс, задача 3