17009. Окружность \omega
касается прямых a
и b
в точках A
и B
соответственно. Произвольная касательная к \omega
пересекает прямые a
и b
в точках X
и Y
соответственно. Точки X'
и Y'
симметричны точкам X
и Y
относительно точек A
и B
соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности \omega
на прямую X'Y'
.
Ответ. Окружность, симметричная окружности \omega
относительно прямой AB
без двух точек.
Решение. Рассмотрим случаи, когда \omega
— вписанная или вневписанная окружность треугольника, образованного прямыми a
, b
и XY
. Другие случаи разбираются аналогично
Пусть прямые a
и B
пересекаются в точке C
, I
— центр вписанной окружности \omega
, P
— проекция точки I
на прямую X'Y'
, T
— точка касания \omega
с прямой XY
. Поскольку точки A
и P
лежат на окружности с диаметром IX'
, то
\angle API=\angle AX'I=\angle IXA=\angle ITA.
Аналогично, \angle IPB=\angle BTI
, поэтому
\angle APB=\angle BTA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACB
(см. задачу 1303). Следовательно, точка P
принадлежит геометрическому месту точек, из которых отрезок X'Y'
виден под фиксированным углом, т. е. соответствующей дуге фиксированной окружности (см. задачу 12).
Если \omega
— вневписанная окружность треугольника ABC
, то рассуждения аналогичны. При этом \angle APB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB
, поэтому поэтому точка P
принадлежит дополнительной дуге той же окружности.
Аналогично докажем, что для любой точки P
этой окружности можно построить точки X
и Y
, причём прямая XY
будет касаться окружности \omega
. Исключением являются только две точки для которых прямая IP
перпендикулярна одной из сторон угла, так как в этих случаях одна из точек X'
, Y'
не существует.
Если прямые a
и b
параллельны, то искомое ГМТ — данная окружность без точек A
и B
.
Автор: Нилов Ф. К.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, финал, второй день, 8 класс, задача 6