17011. В треугольнике ABC
на медиане AM
и биссектрисе CL
как на диаметрах построены окружности \Omega
и \omega
соответственно, пересекающиеся в точках P
и Q
. Отрезок PQ
параллелен высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины B
. Окружность \Omega
пересекает сторону AC
повторно в точке N
. Найдите стороны AC
и BC
, если AB=10
и AN=8
.
Ответ. AC=BC=8+\sqrt14
.
Решение. Пусть T
— точка пересечения AM
и CL
, O_{1}
и O_{2}
— середины этих отрезков соответственно (рис. 1). Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна общей хорде (см. задачу 1130), т. е. O_{1}O_{2}\perp PQ
, а так как прямая PQ
параллельна высоте BH
треугольника ABC
, то PQ\perp AC
. Значит, O_{1}O_{2}\parallel AC
. Следовательно, треугольники TO_{1}O_{2}
и TAC
подобны по двум углам.
Обозначим TO_{1}=x
, TO_{2}=y
, \frac{AO_{1}}{TO_{1}}=\frac{CO_{2}}{TO_{2}}=k
. Тогда
AO_{1}=kTO_{1}=kx,~TA=TO_{1}+AO_{1}=x+kx+(k+1)x,
TC=TO_{2}+CO_{2}=y+ky=(k+1)y,
а так как O_{1}
и O_{2}
— середины AM
и CL
, то
MT=MO_{1}-TO_{1}=AO_{1}-x=kx-x=(k-1)x.
Аналогично, LT=(k-1)y
. Значит,
\frac{LT}{TC}=\frac{(k-1)y}{(k+1)y}=\frac{k-1}{k+1}=\frac{(k-1)x}{(k+1)x}=\frac{MT}{TA},
Поэтому треугольники LMT
и CAT
подобны. Тогда ML\parallel AC
, и по теореме Фалеса L
— середина стороны AB
, т. е. биссектриса CL
треугольника ABC
является его медианой. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный, AC=BC
.
Пусть окружность \Omega
пересекает сторону AB
в точке K
, а сторону BC
вторично пересекает в точке V
(рис. 2). Угол MKA
прямой, поскольку AM
— диаметр окружности \Omega
, поэтому MK
— средняя линия треугольника CBL
. Значит, BK=\frac{1}{4}AB=\frac{5}{2}
.
Пусть CM=c
и VM=t
. Тогда CA=CB=2c
. По теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636) получаем
CM\cdot CV=CN\cdot CA~\Leftrightarrow~(c+t)\cdot c=(2c-8)\cdot2c,
BM\cdot BV=BK\cdot BA~\Leftrightarrow~c\cdot(c-t)=\frac{5}{2}\cdot10.
Подставляя t=3c-8
из первого равенства во второе, получаем (16-2c)c=25
. Отсюда
c=\frac{8\pm\sqrt{14}}{2}~\Rightarrow~AC=BC=2c=8\pm\sqrt{14},
а так как AC\gt AN=8
, то условию задачи удовлетворяет только
AC=BC=8+\sqrt{14}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024, задача 7, 10 класс, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 11-12, с. 43, задача 7