17024. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно
h
. Третья прямая, параллельная данным, находится вне полосы между ними на расстоянии
H
от дальней. Отрезок
AB
перпендикулярен прямым, его концы лежат на первых двух прямых. Найдите на третьей прямой точку
M
, для которой угол
AMB
был наибольшим.
Ответ. Пусть
K
— проекция точек
A
и
B
на третью прямую. Тогда
MK=\sqrt{H(H-h)}
.
Решение. Пусть
l_{1}
и
l_{2}
— параллельные прямые, расстояние между которыми равно
h
, а на этих прямых лежат точки
A
и
B
соответственно; прямая
l
параллельна
l_{1}
и
l_{2}
и удалена от прямой
l_{2}
на расстояние
H
, большее, чем от прямой
l_{1}
, и на ней лежит произвольная точка
M
.
Продолжим отрезок
AB
до пересечения с прямой
l
в точке
K
. Обозначим
KM=x
,
\angle AMB=\alpha
и
\angle AMK=\beta
. Требуется построить точку
M
, для которой
\alpha
— наибольшее.
Из прямоугольных треугольников
AKM
и
BKM
получаем
\tg\beta=\frac{AK}{KM}=\frac{H-h}{x},~\tg(\alpha+\beta)=\frac{BK}{KM}=\frac{H}{x}.

Тогда
\tg\angle AMB=\tg\alpha=\tg((\alpha+\beta)-\beta)=\frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta}{1+\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta}=\frac{\frac{H}{x}-\frac{H-h}{x}}{1+\frac{H}{x}\cdot\frac{H-h}{x}}=

=\frac{\frac{h}{x}}{1+\frac{H(H-x)}{x^{2}}}=\frac{h}{x+\frac{H(H-x)}{x}}\leqslant\frac{h}{2\sqrt{H(H-h)}},

так как по неравенству Коши (см. задачу 3399)
x+\frac{H(H-x)}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{H(H-h)}{x}}=2\sqrt{H(H-h)},

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
KM=x=\frac{H(H-h)}{x}
.
Поскольку на промежутке
[0^{\circ};90^{\circ})
тангенс возрастает, то наибольшее значение
\alpha
равно
\arctg\frac{h}{2\sqrt{H(H-h)}}
.
Построение точки
M
сводится к построению среднего геометрического данных отрезков
H
и
H-h
(см. задачу 1986). Заметим, что точка, симметричная построенной относительно прямой
AB
, также удовлетворяет условию задачи. Следовательно, задача имеет два решения.
Примечание. См. также статью С.Т.Берколайко «Использование неравенства Коши при решении задач», Квант, 1975, N4, с.37-40.
Источник: Журнал «Квант». — 1975, № 4, с. 39, задача 5
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. —