17032. Разделим каждую из сторон AB
и DC
выпуклого четырёхугольника ABCD
на m
равных частей, а каждую из сторон BC
и AD
— на n
равных частей, причём m
и n
нечётны (см. рис.). Докажите, что площадь центрального четырёхугольника в mn
раз меньше площади четырёхугольника ABCD
.
Решение. Воспользуемся следующими утверждениями.
1. Если точки K
, N
, L
, M
расположены соответственно на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
(рис. 1), причём \frac{AK}{KB}=\frac{DL}{LC}=\alpha
, \frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}=\beta
, то точка пересечения P
отрезков KL
и MN
делит их в тех же отношениях, т. е. \frac{MP}{PN}=\alpha
, \frac{KP}{PL}=\beta
(см. задачу 4525).
2. Если каждую из сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
разделить на k
равных частей и соединить соответствующие точки деления (рис. 2), то площади четырёхугольников, полученных при этом разбиении, образуют арифметическую прогрессию (см. примечание к задаче 3205).
Вернёмся к исходной задаче. Запишем в клетках таблицы m\times n
площади, на которые разбит четырёхугольник ABCD
. Тогда задача сводится к утверждению: если в таблице из m
строк и n
столбцов (m
и n
нечётны), в каждой строке и в каждом столбце записаны числа, образующие арифметическую прогрессию, то число в центральной клетке в mn
раз меньше суммы всех чисел в таблице. Для доказательства достаточно заметить, что сумма чисел в каждой строке в n
раз больше среднего числа этой строки, а сумма чисел среднего столбца в m
раз больше число в центральной клетке.
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 9, с. 49-50, задача M362
Источник: Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы. — М.: Просвещение, 1991. —