17052. Катеты прямоугольного треугольника равны a
и b
, а биссектриса прямого угла равна l
. Верно ли, что l\leqslant\sqrt{\frac{ab}{2}}
?
Ответ. Верно.
Решение. По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021) получаем
l=\frac{2ab\cos45^{\circ}}{a+b}=\frac{2ab\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{a+b}=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b},
а так как среднее гармоническое двух положительных чисел не больше их среднего геометрического (см. задачу 3399), т. е. \frac{2ab}{a+b}\leqslant\sqrt{ab}
, то
l=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2ab}{a+b}\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{ab}=\sqrt{\frac{ab}{2}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет прикладной математики — процессов управления ЛГУ. — 1979, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1980, № 6, с. 42, задача 4