17055. В равнобедренной трапеции ABCD
основание AB
равно 2, \angle A=60^{\circ}
. Диагональ BD
трапеции, биссектриса угла A
и высота CK
, опущенная из вершины C
на основание AB
, пересекаются в одной точке. Найдите основание CD
.
Ответ. 4-2\sqrt{3}
.
Решение. Обозначим через x
меньшее основание CD
данной трапеции. Через вершину C
параллельно боковой стороне BC
проведём прямую, пересекающую основание AB
в точке E
. Тогда AD=CE
, а равнобедренный треугольник BCE
— равносторонний. Значит,
AD=BC=CE=BE=AB-AE=AB-CD=2-x.
Пусть M
— точка пересечения BD
и CK
. Из условия задачи следует, что AM
— биссектриса угла BAD
. Продолжим отрезки AM
и CD
до пересечения в точке P
. Тогда
\angle APD=\angle PAB=\angle PAD,
поэтому DP=AD=2-x
.
По свойству равнобедренной трапеции (см. задачу 1921)
BK=\frac{AB-CD}{2}=\frac{2-x}{2}.
Треугольник BMK
подобен треугольнику DMC
с коэффициентом
\frac{BM}{MD}=\frac{BK}{CD}=\frac{2-x}{2x}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BM}{MD}=\frac{AB}{AD}=\frac{2}{2-x}.
Значит,
\frac{2}{2-x}=\frac{2-x}{2x}~\Leftrightarrow~(2-x)^{2}=4x~\Leftrightarrow~x^{2}-8x+4=0~\Leftrightarrow~x=4\pm2\sqrt{3},
а так как x\lt2
, то условию задачи удовлетворяет только x=4-2\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1981, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 28, задача 3, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 5, с. 45, задача 3, вариант 1