17056. В треугольнике
ABC
углы при вершинах
A
и
B
равны
45^{\circ}
и
75^{\circ}
соответственно. На стороне
AB
как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны
AC
и
BC
в точках
D
и
E
соответственно. Найдите площадь треугольника
ABC
, если
DE=1
.
Ответ.
1+\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Треугольник
EDC
подобен треугольнику
ABC
с коэффициентом
\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
(см. задачу 19), поэтому
AB=\frac{DE}{\cos60^{\circ}}=\frac{DE}{\frac{1}{2}}=2DE=2.

Пусть
S
— площадь треугольника
ABC
,
R
— радиус его описанной окружности. Поскольку
\angle ACB=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ},

то по теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{AB}{2\sin60^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Кроме того
\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

Следовательно, (см. задачу 4020)
S=2R^{2}\sin45^{\circ}\sin60^{\circ}\sin75^{\circ}=2\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}.

Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1981, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 5, с. 45, задача 3, вариант 2