17056. В треугольнике ABC
углы при вершинах A
и B
равны 45^{\circ}
и 75^{\circ}
соответственно. На стороне AB
как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны AC
и BC
в точках D
и E
соответственно. Найдите площадь треугольника ABC
, если DE=1
.
Ответ. 1+\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Треугольник EDC
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
(см. задачу 19), поэтому
AB=\frac{DE}{\cos60^{\circ}}=\frac{DE}{\frac{1}{2}}=2DE=2.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
, R
— радиус его описанной окружности. Поскольку
\angle ACB=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ},
то по теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{AB}{2\sin60^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Кроме того
\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
Следовательно, (см. задачу 4020)
S=2R^{2}\sin45^{\circ}\sin60^{\circ}\sin75^{\circ}=2\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}.
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 5, с. 45, задача 3, вариант 2
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1981, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 130, задача 3, вариант 1