17058. Стороны треугольника a\lt b\lt c
образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что ac=6rR
, где r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника.
Решение. По свойству арифметической прогрессии b=\frac{a+c}{2}
.
Пусть p
и S
— полупериметр и площадь данного треугольника. Тогда
p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{b}{2}+\frac{a+c}{2}=\frac{b}{2}+b=\frac{3}{2}b.
Поскольку (см. задачи 452 и 4259)
S=pr=\frac{3}{2}br~\mbox{и}~S=\frac{abc}{4R},
то
\frac{3}{2}br=\frac{abc}{4R}~\Rightarrow~3r=\frac{ac}{2R}~\Rightarrow~ac=6rR.
Что и требовалось доказать.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет Киевского ГУ. — 1981, устный экзамен
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 6, с. 42, задача 20