17063. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, большее основание равно a
, а сумма меньшего основания и боковой стороны равна \frac{3}{4}a
. Найдите меньшее основание.
Ответ. \frac{a(2-\sqrt{3})}{4}
.
Решение. Пусть большее основание AD
трапеции ABCD
равно a
. Обозначим через b
и l
меньшее основание BC
и боковую сторону CD
данной трапеции. Пусть H
— высота трапеции.
По свойству равнобедренной трапеции (см. задачу 1921)
DH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{a-b}{2},
а так как CH
— высота прямоугольного треугольника ACD
, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 2728)
l^{2}=CD^{2}=DH\cdot AD=\frac{a-b}{2}\cdot a~\Rightarrow~2l^{2}=a^{2}-ab,
а так как по условию b+l=\frac{3}{4}a
, то
ab+al=\frac{3}{4}a^{2}~\Rightarrow~ab=\frac{3}{4}a^{2}-al~\Rightarrow~2l^{2}=a^{2}-ab=a^{2}-\frac{3}{4}a^{2}+al~\Rightarrow
\Rightarrow~2l^{2}-al-\frac{1}{4}a^{2}=0~\Rightarrow~l=\frac{a(1+\sqrt{3})}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1984, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 4, с. 54, задача 4, вариант 2