17076. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
взяты точки P
, Q
и R
соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников APR
, BPQ
и CQR
образуют треугольник, подобный треугольнику ABC
.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Предположим, что описанные окружности треугольников APR
и BPQ
пересекаются в точке O
, лежащей внутри треугольника ABC
. Поскольку
\angle QOR=\angle360^{\circ}-\angle QOP-\angle POR=360^{\circ}-(180^{\circ}-\beta)-(180^{\circ}-\alpha)=
=\beta+\alpha=180^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-\angle POQ,
точка O
лежит также на описанной окружности треугольника CQR
(см. задачу 49).
Пусть O_{a}
, O_{b}
и O_{c}
— центры описанных окружностей треугольников APR
, BPQ
и CQR
соответственно. Прямая O_{a}O_{b}
— серединный перпендикуляр к общей хорде OP
описанных окружностей треугольников APR
и BPQ
(см. задачу 1130), поэтому O_{a}O_{b}
— биссектриса угла OO_{a}P
. Аналогично, O_{a}O_{c}
— биссектриса угла OO_{a}R
. Значит,
\angle O_{b}O_{a}O_{c}=\frac{1}{2}\angle PO_{a}R=\angle PAR=\alpha.
Аналогично, \angle O_{a}O_{b}O_{c}=\beta
. Следовательно, треугольник O_{a}O_{b}O_{c}
подобен треугольнику ABC
по двум углам.
Аналогично для случая, когда точка O
лежит вне треугольника ABC
.
Источник: Немецкие математические олимпиады. — 1980, второй тур
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 7, с. 75, задача 12