17076. На сторонах
AB
,
BC
и
CA
треугольника
ABC
взяты точки
P
,
Q
и
R
соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников
APR
,
BPQ
и
CQR
образуют треугольник, подобный треугольнику
ABC
.
Решение. Пусть углы при вершинах
A
,
B
и
C
треугольника
ABC
равны
\alpha
,
\beta
и
\gamma
соответственно.
Предположим, что описанные окружности треугольников
APR
и
BPQ
пересекаются в точке
O
, лежащей внутри треугольника
ABC
. Поскольку
\angle QOR=\angle360^{\circ}-\angle QOP-\angle POR=360^{\circ}-(180^{\circ}-\beta)-(180^{\circ}-\alpha)=

=\beta+\alpha=180^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-\angle POQ,

точка
O
лежит также на описанной окружности треугольника
CQR
(см. задачу 49).
Пусть
O_{a}
,
O_{b}
и
O_{c}
— центры описанных окружностей треугольников
APR
,
BPQ
и
CQR
соответственно. Прямая
O_{a}O_{b}
— серединный перпендикуляр к общей хорде
OP
описанных окружностей треугольников
APR
и
BPQ
(см. задачу 1130), поэтому
O_{a}O_{b}
— биссектриса угла
OO_{a}P
. Аналогично,
O_{a}O_{c}
— биссектриса угла
OO_{a}R
. Значит,
\angle O_{b}O_{a}O_{c}=\frac{1}{2}\angle PO_{a}R=\angle PAR=\alpha.

Аналогично,
\angle O_{a}O_{b}O_{c}=\beta
. Следовательно, треугольник
O_{a}O_{b}O_{c}
подобен треугольнику
ABC
по двум углам.
Аналогично для случая, когда точка
O
лежит вне треугольника
ABC
.
Источник: Немецкие математические олимпиады. — 1980, второй тур
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 7, с. 75, задача 12