17084. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, в котором провели высоту AD
. Прямая BO
пересекает описанную окружность треугольника ABD
в точке P
, отличной от D
. Докажите, что прямая DP
проходит через середину отрезка AC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Треугольник ABD
прямоугольный с гипотенузой AB
, поэтому AB
— диаметр его описанной окружности. Значит, \angle APO=APB=90^{\circ}
. Пусть луч DP
пересекает отрезок AC
в точке M
.
Вписанные в окружность с диаметром AB
углы BPD
и BAD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MPO=\angle DPB=\angle BAD.
В то же время,
\angle MAO=\angle CAO=\angle BAD
(см. задачу 20). Значит, из точек A
и P
, лежащих по одну сторону от прямой OM
, отрезок OM
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки A
, M
, O
и P
лежат на одной окружности, а так как \angle APO=90^{\circ}
, то AO
— диаметр этой окружности. Тогда \angle AMO=90^{\circ}
, поэтому высота OM
равнобедренного треугольника AOC
является его медианой. Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично, для любого другого случая.
Примечание. Чтобы избежать рассмотрения различных случаев можно применить ориентированные углы (см. задачу 873).
Автор: Щербатов Я. А.
Источник: Устная олимпиада Лицея НИУ ВШЭ. — 2024, 9-11 класс, задача 1