17086. Около равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) с углом B
, равным 30^{\circ}
, описана окружность S
радиусом R
, AD
— её диаметр, проведённый из точки A
. Найдите радиус окружности, касающейся стороны AC
данного треугольника, диаметра AD
и окружности S
.
Ответ. \frac{2}{3}R(\sqrt{3}-1)
.
Решение. Пусть O
— центр окружности S
радиуса R
, O'
— центр окружности искомого радиуса x
, касающейся стороны AC
в точке K
, диаметра AD
и окружности S
в точке M
.
Центральный угол AOC
окружности S
вдвое больше соответствующего вписанного угла ABC
, т. е. \angle AOC=60^{\circ}
. Тогда равнобедренный треугольник AOC
— равносторонний, поэтому \angle OAC=60^{\circ}
, а так как AO'
— биссектриса этого угла (см. задачу 1724), то \angle KAO'=30^{\circ}
. Тогда AO'=2O'K=2x
. Кроме того, по свойству касающихся окружностей (см. задачу 1758)
OO'=AM-O'M=R-x.
Применив к треугольнику A0O'
теорему косинусов, получим
OO'^{2}=AO^{2}+AO'^{2}-2AO\cdot AO'\cos30^{\circ},~\mbox{или}~(R-x)^{2}=R^{2}+4x^{2}-2R\cdot2x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},
откуда находим, что x=\frac{2}{3}R(\sqrt{3}-1)
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1990, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 3, с. 59, задача 3, вариант 2