17086. Около равнобедренного треугольника
ABC
(
AB=BC
) с углом
B
, равным
30^{\circ}
, описана окружность
S
радиусом
R
,
AD
— её диаметр, проведённый из точки
A
. Найдите радиус окружности, касающейся стороны
AC
данного треугольника, диаметра
AD
и окружности
S
.
Ответ.
\frac{2}{3}R(\sqrt{3}-1)
.
Решение. Пусть
O
— центр окружности
S
радиуса
R
,
O'
— центр окружности искомого радиуса
x
, касающейся стороны
AC
в точке
K
, диаметра
AD
и окружности
S
в точке
M
.
Центральный угол
AOC
окружности
S
вдвое больше соответствующего вписанного угла
ABC
, т. е.
\angle AOC=60^{\circ}
. Тогда равнобедренный треугольник
AOC
— равносторонний, поэтому
\angle OAC=60^{\circ}
, а так как
AO'
— биссектриса этого угла (см. задачу 1724), то
\angle KAO'=30^{\circ}
. Тогда
AO'=2O'K=2x
. Кроме того, по свойству касающихся окружностей (см. задачу 1758)
OO'=AM-O'M=R-x.

Применив к треугольнику
A0O'
теорему косинусов, получим
OO'^{2}=AO^{2}+AO'^{2}-2AO\cdot AO'\cos30^{\circ},~\mbox{или}~(R-x)^{2}=R^{2}+4x^{2}-2R\cdot2x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},

откуда находим, что
x=\frac{2}{3}R(\sqrt{3}-1)
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1990, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 3, с. 59, задача 3, вариант 2