17102. В треугольнике ABC
проведены медиана BD
и биссектриса AE
, которые пересекаются в точке K
. Прямая, проходящая через вершину C
и точку K
, пересекает сторону AB
в точке F
. Найдите отрезки AF
и FB
, если известно, что сторона AB
равна c
, а сторона AC
равна b
.
Ответ. AF=\frac{bc}{b+c}
, FB=\frac{c^{2}}{b+c}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.
Отрезки AE
, BD
и CF
пересекаются в одной точке, поэтому по теореме Чевы (см. задачу 1621)
1=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CD}{DA}=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{c}{b}\cdot\frac{1}{1},
откуда \frac{AF}{FB}=\frac{b}{c}
. Кроме того, AF+FB=c
. Из системы
\syst{\frac{AF}{FB}=\frac{b}{c}\\AF+FB=c\\}
находим, что
AF=\frac{bc}{b+c},FB=\frac{c^{2}}{b+c}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1976, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 8, задача 3, вариант 1