17124. В правильный треугольник со стороной
a
вписана окружность, через центр которой проходит другая окружность, касающаяся одной из сторон треугольника в его вершине. Найдите общую хорду этих окружностей.
Ответ.
\frac{a\sqrt{5}}{4}
.
Решение. Пусть
ABC
— данный равносторонний треугольник,
O_{1}
— центр его вписанной окружности, а
O_{2}
— центр окружности, проходящей через точку
O_{1}
и касающейся прямой
AC
в точке
A
.
Обозначим через
R
радиус второй окружности. Её радиус
O_{2}A
перпендикулярен касательной
AB
, поэтому этот радиус параллелен радиусу
O_{1}M
вписанной окружности данного треугольника
ABC
, проведённому в точку
M
касания со стороной
AB
. Значит,
\angle O_{2}AO_{1}=\angle MO_{1}A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ},

а так как
O_{2}A=O_{2}O_{1}=R
, то равнобедренный треугольник
AO_{1}O_{2}
— равносторонний.
Пусть
H
— проекция точки
O_{1}
на прямую
AO_{2}
. Тогда
AMO_{1}H
— прямоугольник, поэтому
O_{1}H=AM=\frac{a}{2},

т. е. высота равностороннего треугольника
AO_{1}O_{2}
равна
\frac{a}{2}
. Значит, его сторона равна
\frac{a}{\sqrt{3}}
, т. е.
R=\frac{a}{\sqrt{3}}
.
Пусть
PQ
— общая хорда данных окружностей. Тогда прямая
O_{1}O_{2}
проходит через середину
F
отрезка
PQ
перпендикулярна ему (см. задачу 1130).
Рассмотрим равнобедренный треугольник
PO_{1}O_{2}
со сторонами
O_{2}P=O_{1}O_{2}=R=\frac{a}{\sqrt{3}},~O_{1}P=\frac{a}{2\sqrt{3}}

и высотами
PF
и
O_{2}G=\sqrt{R^{2}-\frac{1}{4}O_{1}P^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{3}-\frac{a^{2}}{48}}=\frac{a\sqrt{15}}{4\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{4}.

Тогда (см. задачу 1967)
PQ=2PF=2\cdot\frac{O_{1}P\cdot O_{2}G}{O_{1}O_{2}}=2\cdot\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{4}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{5}}{4}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 6
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 24, задача 4, вариант 6