17124. В правильный треугольник со стороной a
вписана окружность, через центр которой проходит другая окружность, касающаяся одной из сторон треугольника в его вершине. Найдите общую хорду этих окружностей.
Ответ. \frac{a\sqrt{5}}{4}
.
Решение. Пусть ABC
— данный равносторонний треугольник, O_{1}
— центр его вписанной окружности, а O_{2}
— центр окружности, проходящей через точку O_{1}
и касающейся прямой AC
в точке A
.
Обозначим через R
радиус второй окружности. Её радиус O_{2}A
перпендикулярен касательной AB
, поэтому этот радиус параллелен радиусу O_{1}M
вписанной окружности данного треугольника ABC
, проведённому в точку M
касания со стороной AB
. Значит,
\angle O_{2}AO_{1}=\angle MO_{1}A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ},
а так как O_{2}A=O_{2}O_{1}=R
, то равнобедренный треугольник AO_{1}O_{2}
— равносторонний.
Пусть H
— проекция точки O_{1}
на прямую AO_{2}
. Тогда AMO_{1}H
— прямоугольник, поэтому
O_{1}H=AM=\frac{a}{2},
т. е. высота равностороннего треугольника AO_{1}O_{2}
равна \frac{a}{2}
. Значит, его сторона равна \frac{a}{\sqrt{3}}
, т. е. R=\frac{a}{\sqrt{3}}
.
Пусть PQ
— общая хорда данных окружностей. Тогда прямая O_{1}O_{2}
проходит через середину F
отрезка PQ
перпендикулярна ему (см. задачу 1130).
Рассмотрим равнобедренный треугольник PO_{1}O_{2}
со сторонами
O_{2}P=O_{1}O_{2}=R=\frac{a}{\sqrt{3}},~O_{1}P=\frac{a}{2\sqrt{3}}
и высотами PF
и
O_{2}G=\sqrt{R^{2}-\frac{1}{4}O_{1}P^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{3}-\frac{a^{2}}{48}}=\frac{a\sqrt{15}}{4\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{4}.
Тогда (см. задачу 1967)
PQ=2PF=2\cdot\frac{O_{1}P\cdot O_{2}G}{O_{1}O_{2}}=2\cdot\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{4}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{5}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 6
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 24, задача 4, вариант 6