17141. Косинус угла между боковыми сторонами AD
и BC
трапеции ABCD
равен \frac{4}{5}
. В трапецию вписана окружность, причём сторона AD
делится точкой касания на отрезки, равные 1 и 4. Найдите боковую сторону BC
трапеции.
Ответ. 4 или \frac{100}{7}
.
Решение. Пусть вписанная в трапецию окружность с центром O
и радиусом r
касается боковой стороны AD
в точке K
, а прямые AD
и BC
пересекаются в точке S
.
Поскольку AO
и DO
— биссектрисы углов A
и D
трапеции, треугольник AOD
прямоугольный (см. задачу 313), отрезок OK=r
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому r
— среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу (см. задачу 2728). Значит,
r=\sqrt{DK\cdot AK}=2.
Пусть AH
— высота трапеции. Тогда DH=2r=4
. Обозначим \angle SAB=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ASB=\varphi
.
Рассмотрим случай, когда DK=1
и AK=4
. Из прямоугольного треугольника AKO
находим
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OK}{AK}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}~\Rightarrow~\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1=\frac{8}{5}-1=\frac{3}{5}.
Тогда \alpha\lt90^{\circ}
, а так как
\sin\alpha=\frac{4}{5}=\cos\angle ASB=\cos\varphi,
то треугольник ABS
прямоугольный с прямым углом при вершине B
, т.е \beta=90^{\circ}
. Следовательно, BC=2r=4
.
Рассмотрим случай, когда DK=4
и AK=1
. Из прямоугольного треугольника AKO
находим
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OK}{AK}=2~\Rightarrow~\cos\frac{\alpha}{2}==\frac{1}{\sqrt{5}}~\Rightarrow~\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1=\frac{2}{5}-1=-\frac{3}{5}.
Тогда \alpha\gt90^{\circ}
, поэтому точка H
лежит на продолжении основания AB
за точку A
, а DAH
— внешний угол треугольника ASB
. Значит,
\sin\beta=\sin(\angle DAH-\angle ASB)=\sin(180^{\circ}-\alpha-\varphi)=\sin(\alpha+\varphi)=
=\sin\alpha\cos\varphi+\cos\alpha\sin\varphi=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{3}{5}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.
Пусть CP=2r=4
— ещё одна высота данной трапеции. Тогда
BC=\frac{CP}{\sin\beta}=\frac{4}{\frac{7}{25}}=\frac{100}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1984, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1984, с. 36, задача 3, вариант 1