17141. Косинус угла между боковыми сторонами
AD
и
BC
трапеции
ABCD
равен
\frac{4}{5}
. В трапецию вписана окружность, причём сторона
AD
делится точкой касания на отрезки, равные 1 и 4. Найдите боковую сторону
BC
трапеции.
Ответ. 4 или
\frac{100}{7}
.
Решение. Пусть вписанная в трапецию окружность с центром
O
и радиусом
r
касается боковой стороны
AD
в точке
K
, а прямые
AD
и
BC
пересекаются в точке
S
.
Поскольку
AO
и
DO
— биссектрисы углов
A
и
D
трапеции, треугольник
AOD
прямоугольный (см. задачу 313), отрезок
OK=r
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
r
— среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу (см. задачу 2728). Значит,
r=\sqrt{DK\cdot AK}=2.

Пусть
AH
— высота трапеции. Тогда
DH=2r=4
. Обозначим
\angle SAB=\alpha
,
\angle ABC=\beta
и
\angle ASB=\varphi
.
Рассмотрим случай, когда
DK=1
и
AK=4
. Из прямоугольного треугольника
AKO
находим
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OK}{AK}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}~\Rightarrow~\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1=\frac{8}{5}-1=\frac{3}{5}.

Тогда
\alpha\lt90^{\circ}
, а так как
\sin\alpha=\frac{4}{5}=\cos\angle ASB=\cos\varphi,

то треугольник
ABS
прямоугольный с прямым углом при вершине
B
, т.е
\beta=90^{\circ}
. Следовательно,
BC=2r=4
.
Рассмотрим случай, когда
DK=4
и
AK=1
. Из прямоугольного треугольника
AKO
находим
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OK}{AK}=2~\Rightarrow~\cos\frac{\alpha}{2}==\frac{1}{\sqrt{5}}~\Rightarrow~\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1=\frac{2}{5}-1=-\frac{3}{5}.

Тогда
\alpha\gt90^{\circ}
, поэтому точка
H
лежит на продолжении основания
AB
за точку
A
, а
DAH
— внешний угол треугольника
ASB
. Значит,
\sin\beta=\sin(\angle DAH-\angle ASB)=\sin(180^{\circ}-\alpha-\varphi)=\sin(\alpha+\varphi)=

=\sin\alpha\cos\varphi+\cos\alpha\sin\varphi=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{3}{5}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.

Пусть
CP=2r=4
— ещё одна высота данной трапеции. Тогда
BC=\frac{CP}{\sin\beta}=\frac{4}{\frac{7}{25}}=\frac{100}{7}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1984, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1984, с. 36, задача 3, вариант 1