17171. В треугольнике ABC
со сторонами AB=3\sqrt{5}
, AC=6
и BC=3
проведена биссектриса CH
. Прямая, параллельная стороне AC
, пересекает отрезки AB
, CH
и BC
в точках P
, Q
и R
соответственно. Найдите наименьшее возможное значение суммы площадей треугольников PHQ
и CQR
.
Ответ. \frac{3}{2}
Решение. Треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
(см. задачу 1972), так как
AC^{2}+BC^{2}=36+9=45=AB^{2}
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot6\cdot3=9.
Проведём через точку H
прямую, параллельную AC
. Пусть M
— точка её пересечения с катетом BC
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) и из подобия треугольников HBM
и ABC
получаем
\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{3}=2~\Rightarrow
\Rightarrow~AH=\frac{2}{3}AB=2\sqrt{5},~BH=\sqrt{5},~BM=\frac{1}{3}BC=1,~HM=\frac{1}{3}AC=2.
Тогда
S_{\triangle AHC}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{3}\cdot9=6,~S_{\triangle BHC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=3,
S_{\triangle CHM}=\frac{CM}{CB}\cdot S_{\triangle BHC}=\frac{2}{3}S_{\triangle BHC}=\frac{2}{3}\cdot3=2.
Обозначим \frac{HP}{HA}=x
(0\leqslant x\leqslant1
). Тогда треугольник PQH
подобен треугольнику ACH
с коэффициентом x
. Значит,
S_{\triangle PHQ}=x^{2}S_{\triangle AHC}=x^{2}\cdot6=6x^{2},
а так как \frac{CR}{CM}=\frac{AP}{AH}=1-x
, аналогично получим
S_{\triangle CQR}=(1-x)^{2}S_{\triangle CHM}=2(1-x)^{2}.
Тогда
S(x)=S_{\triangle PHQ}+S_{\triangle CQR}=6x^{2}+2(1-x)^{2}=8x^{2}-2x+1=8\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{3}{2}\geqslant\frac{3}{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x=\frac{1}{4}\lt1
. Следовательно, сумма S(x)
принимает наименьшее возможное значение при x=\frac{1}{4}
и это значение равно \frac{3}{2}
.
Заметим, что в этом случае точка Q
— середина отрезка PR
, так как PQ=\frac{1}{4}AC=\frac{3}{2}
, а PR=\frac{1}{2}AC=3
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1991, задача 2, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 54, задача 2, вариант 1