17239. В пятиугольнике ABCDE
сторона AB
параллельна стороне DE
, а сторона BC
— стороне AE
, при этом AB:DE=8:5
, BC:AE=2:3
. Найдите площадь треугольника ACD
, если площадь четырёхугольника BCDE
равна 21.
Ответ. 14.
Решение. Положим AB=8x
, DE=5x
, BC=2y
, AE=3y
. Продолжим стороны AB
и DE
до пересечения в точке F
. Тогда ABFE
— параллелограмм со сторонами AB=EF=8x
и AE=BF=3y
. Пусть площадь параллелограмма ABFE
равна 2S
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle CFD}=\frac{FC}{FB}\cdot\frac{FD}{FE}\cdot S_{\triangle BFE}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}\cdot S=\frac{1}{8}S,
21=S_{BCDE}=S-\frac{1}{8}S=\frac{7}{8}S~\Rightarrow~S=24~\Rightarrow~2S=48.
Поскольку
S_{\triangle ABC}=\frac{BC}{BF}\cdot S=\frac{2}{3}\cdot24=16,~S_{\triangle AED}=\frac{DE}{FE}\cdot S=\frac{5}{8}\cdot24=15
(см. задачу 3000), а S_{\triangle CFD}=\frac{1}{8}S=3
, то
S_{\triangle ACD}=2S-S_{\triangle CFD}-S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AED}=48-3-16-15=14.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2001, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 99, задача 3, вариант 1.1