17260. В трапецию ABCD
вписана окружность. Отношение боковых сторон трапеции AB:CD=2:3
. Основание AD
трапеции касается окружности в точке K
, причём AK:KD=1:2
. Найдите отношение AD:BC
оснований трапеции.
Ответ. 4:1
.
Решение. Обозначим через K
и L
точки касания окружности и радиуса r
с центром O
, вписанной в трапецию ABCD
, с основаниями AD
и BC
соответственно. Положим BM=BL=t
, AM=AK=2x
, CN=CL=y
.
Отрезок OM=r
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 313), поэтому
r=OM=\sqrt{BM\cdot AM}=\sqrt{tx}.
(см. задачу 2728). Аналогично, из прямоугольного треугольника DOC
получаем, что
r=ON=\sqrt{CN\cdot ND}=\sqrt{2yx}
Из равенства \sqrt{tx}=\sqrt{2yx}
получаем, что t=2y
. Значит,
AB=BM+AM=t+x=2y+x,~CD=CN+ND=y+2x.
Тогда
\frac{2}{3}=\frac{AB}{CD}=\frac{2y+x}{y+2x},
откуда x=4y
.
Следовательно,
\frac{AD}{DC}=\frac{AK+KD}{BL+LC}=\frac{x+2x}{t+y}=\frac{3x}{2y+y}=\frac{12y}{3y}=4.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2004, задача 3, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 109, задача 3, вариант 1.2