17263. Две окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Через произвольную точку M
дуги окружности S_{2}
, которая лежит внутри круга S_{1}
проводятся прямые MA
и MB
, вторично пересекающие окружность S_{1}
в точках C
и D
. Докажите, что длина отрезка CD
не зависит от выбора точки M
.
Указание. См. задачу 26.
Решение. Пусть угловая величина не содержащей точки C
дуги AB
окружности S_{1}
равна \alpha
, а угловая величина дуги CD
, не содержащей точки A
окружности _{1}
, равна \beta
. Тогда
\angle CMD=\angle AMB=\frac{\alpha+\beta}{2}
(см. задачу 26), откуда
\beta=2\angle CMD-\alpha.
Поскольку \angle CMD
и \alpha
не зависят от положения точки M
на указанной в условии дуге окружности S_{1}
, угловая величина вписанного угла CAD
, равного \frac{\beta}{2}
, также не зависит от положения точки M
. Следовательно, длина стягивающей её хорды CD
одна и та же при любом указанном положении точки A
(см. задачу 805).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2004, задача 2, вариант T1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 111, задача 2, вариант T1.2