17277. Окружность радиуса R
касается сторон AB
и BC
треугольника ABC
в точках K
и M
соответственно. Известно, что центр окружности лежит на стороне AC
, M
— середина стороны BC
, отрезок BK
в два раза больше отрезка AK
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. \frac{7}{20}R^{2}\sqrt{35}
.
Решение. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Значит, BK=BM
. Обозначим AK=x
. Тогда
BK=BM=MC=2x,~AB=3x,~BC=4x.
Пусть O
— центр окружности. По теореме Пифагора
AO^{2}=R^{2}+x^{2},~OC^{2}=4x^{2}+R^{2}.
С другой стороны, BO
— биссектриса треугольника ABC
(см. задачу 1724), поэтому (см. задачу 1509)
\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}~\Rightarrow~\frac{x^{2}+R^{2}}{4x^{2}+R^{2}}=\frac{9}{4}~\Rightarrow~x=R\sqrt{\frac{7}{20}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}(AB\cdot KO+BC\cdot MO)=\frac{7}{2}R^{2}\sqrt{35}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1977, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 120, задача 3, вариант 1