17297. В остроугольном треугольнике ABC
известно, что AB=4
, BC=6
, \cos\angle ACB=\frac{3}{4}
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Ответ. \frac{\sqrt{7}}{2}
.
Решение. Пусть AC=x
. По теореме косинусов
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\angle ACB,\mbox{или}~16=x^{2}+36-2x\cdot6\cdot\frac{3}{4}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~x^{2}-9x+20=0~\Leftrightarrow~(x-4)(x-5)=0.
Если AC=x=4
, то
AC^{2}+AB^{2}=16+16-36=-20\lt0,
поэтому угол BAC
тупой (см. задачу 4004), что противоречит условию.
Если AC=x=5
, то
AC^{2}+AB^{2}=25+16-36=5\gt0,
поэтому угол BAC
острый (см. задачу 4004), а так как этот угол лежит против наибольшей стороны треугольника, то остальные углы тоже острые, т. е. треугольник ABCD
остроугольный. Таким образом, AC=5
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, S
— площадь, p=\frac{6+5+4}{2}=\frac{15}{2}
— полупериметр. Тогда
S=\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot5\cdot6\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}.
Следовательно (см. задачу 452),
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{15\sqrt{7}}{4}}{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1982, задача 3С, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 133, задача 3С, вариант 1