17364. В треугольнике ABC
радиус вписанной окружности равен \sqrt{5}
, расстояние от её центра до вершины C
равно 5, сторона AB
равна 4\sqrt{5}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 30.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности, r
— радиус окружности, p
— полупериметр треугольника ABC
, S
— площадь, N
и K
— точки касания окружности со сторонами AC
и BC
соответственно. Тогда (см. задачу 219)
CN=CK=p-AB~\Rightarrow~p=AB+CN=AB+\sqrt{CO^{2}-ON^{2}}=
=4\sqrt{5}+\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}+2\sqrt{5}=6\sqrt{5}.
Следовательно (см. задачу 452),
S=pr=6\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=30.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1996, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 169, задача 3, вариант 2.2