17387. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AB
биссектриса BN
пересекает медиану AM
в точке K
, причём AK=8
и KM=7
. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. AB=\frac{40}{3}
, AC=BC=\frac{70}{3}
.
Решение. По свойству биссектрисы BK
в треугольнике ABM
получаем
\frac{AB}{BM}=\frac{AK}{KM}=\frac{8}{7}.
(см. задачу 1509).
Положим AB=8x
, BM=7x
. По формуле для квадрата медианы (см. задачу 1404) получаем
AM^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2})=\frac{1}{4}(2\cdot64x^{2}+2\cdot196x^{2}-196x^{2})=
=(32+49)x^{2}=81x^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}=\frac{225}{81}~\Leftrightarrow~x=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}.
Следовательно,
AB=8x=\frac{40}{3},~AC=BC=14x=\frac{70}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 187, задача 3, вариант 1.1