17388. В прямоугольном треугольнике ABC
с гипотенузой AB
биссектриса AN
пересекает медиану BM
в точке K
. Найдите стороны треугольника ABC
, если известно, что BK=14
, KM=5
.
Ответ. \frac{266}{11}
, \frac{76\sqrt{6}}{11}
, \frac{190}{11}
.
Решение. По свойству биссектрисы AK
в треугольнике ABM
получаем
\frac{AB}{AM}=\frac{BK}{KM}=\frac{14}{5}.
(см. задачу 1509).
Положим AB=14x
, AM=5x
. Тогда
AC=10x,~BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{196x^{2}-100x^{2}}=4x\sqrt{6}.
По формуле для квадрата медианы (см. задачу 1404) получаем
19^{2}=BM^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2})=\frac{1}{4}(2\cdot196x^{2}+2\cdot100x^{2}-96x^{2})=
=(73+48)x^{2}=121x^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}=\frac{361}{121}~\Leftrightarrow~x=\frac{19}{11}.
Следовательно,
AC=10x=\frac{190}{11},~BC=4x\sqrt{6}=\frac{76\sqrt{6}}{11},~AB=14x=\frac{266}{11}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 187, задача 3, вариант 1.2