17403. В параллелограмме ABCD
на сторонах BC
и CD
выбраны точки K
и L
, причём BK:KC=3:1
, CL:LD=5:2
. Найдите площадь пятиугольника ABKLD
, если площадь треугольника AKL
равна 22.
Ответ. 51.
Решение. Пусть площадь параллелограмма ABCD
равна S
. Тогда (см. задачу 3000)
S_{\triangle ABK}=\frac{BK}{BC}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{3}{8}S,
S_{\triangle ADL}=\frac{DL}{DC}S_{\triangle ACD}=\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{7}S,
S_{\triangle KCL}=\frac{CK}{CB}\cdot\frac{CL}{CD}S_{\triangle BCD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{5}{56}S
(см. задачу 3007). Значит,
22=S_{\triangle AKL}=S-S_{\triangle ABK}-S_{\triangle ADL}-S_{\triangle KCL}=S\left(1-\frac{3}{8}-\frac{1}{7}-\frac{5}{56}\right)=\frac{22}{56}S,
откуда S=56
. Следовательно,
S_{ABKLD}=S-S_{\triangle KCL}=S-\frac{5}{56}S=56-5=51.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 196, задача 3, вариант 1.1