17404. В параллелограмме ABCD
на сторонах BC
и CD
выбраны точки K
и L
, причём BK:KC=2:1
, CL:LD=3:5
. Найдите площадь треугольника AKL
, если площадь четырёхугольника BKLD
равна 21.
Ответ. 14.
Решение. Пусть площадь параллелограмма ABCD
равна S
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle KCL}=\frac{CK}{CB}\cdot\frac{CL}{SD}S_{\triangle BCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{16}S.
Тогда
21=S_{BKLD}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle KCL}=\frac{1}{2}S-\frac{1}{16}S=\frac{7}{16}S,
откуда S=48
. Значит,
S_{\triangle KCL}=\frac{1}{16}S=3,~S_{\triangle AKB}=\frac{KB}{CB}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{3}\cdot24=16,
S_{\triangle ADL}=\frac{DL}{DC}S_{\triangle ADC}=\frac{5}{8}\cdot24=15
(см. задачу 3000). Следовательно,
S_{\triangle AKL}=S_{ABCD}-S_{\triangle KCL}-S_{\triangle AKB}-S_{\triangle ADL}=48-3-16-15=14
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 3, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 197, задача 3, вариант 1.2