17431. Окружности радиусов 5 и 3 пересекаются в точках
A
и
B
, причём
AB=4
. Известно, что центр второй окружности лежит вне первой. Точка
C
— середина лежащей вне первой окружности дуги
AB
второй окружности. Лучи
CA
и
CB
пересекают первую окружность в точках
M
и
N
. Найдите
MN
.
Ответ.
\frac{4}{3}(\sqrt{5}+\sqrt{21})
.
Решение. По условию точка
C
— середина дуги
AB
второй окружности, поэтому
C
лежит на линии центров
O_{1}O_{2}
. Пусть
K
— точка пересечения отрезка
O_{1}O_{2}
с дугой
AB
первой окружности. Обозначим
\angle AO_{1}O_{2}=\alpha
,
\angle AO_{2}O_{1}=\beta
,
P
— точка пересечения отрезков
O_{1}O_{2}
и
AB
. Тогда
\angle NMA=\angle NBA=\angle CBA=\frac{1}{2}\angle CO_{2}A=\frac{\beta}{2}.

Аналогично,
\angle MNB=\frac{\beta}{2}
, а также
\angle AMK=\frac{\alpha}{2}
. Значит,
\angle KMN=\angle KNM=\frac{\alpha+\beta}{2}~\Rightarrow~\angle NKM=180^{\circ}-2\angle KMN=180^{\circ}-(\alpha+\beta)

(см. задачу 6).
Окружность с центром
O_{1}
описана около треугольника
MKN
, её радиус
R=5
, поэтому по теореме синусов
MN=2R\sin(180^{\circ}-(\alpha+\beta)=10\sin(\alpha+\beta)

.
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам (см. задачу 1130), поэтому
AP=2
. Из прямоугольных треугольников
APO_{1}
и
APO_{2}
находим
\sin\alpha=\frac{AP}{O_{1}A}=\frac{2}{5},~\sin\beta=\frac{AP}{O_{2}A}=\frac{2}{3}.

Тогда
\cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}{5},~\cos\beta=\frac{\sqrt{5}}{3},

поэтому
\sin\varphi=\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{2}{5}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{\sqrt{21}}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{15}(\sqrt{5}+\sqrt{21}).

Следовательно,
10\sin(\alpha+\beta)=10\cdot\frac{2}{15}(\sqrt{5}+\sqrt{21})=\frac{4}{3}(\sqrt{5}+\sqrt{21}).

Примечание. Также можно применить результат задачи 26.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1986, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 212, задача 3, вариант 1