17435. Две окружности радиусов 5 и 3, расстояние между центрами которых равно 4, пересекаются в точках A
и B
. Через точку B
проведена прямая, которая пересекает окружности в точках C
и D
, причём точка B
лежит между C
и D
. Известно, что отрезок AB
— биссектриса треугольника ADC
, проведённая из его вершины A
. Найдите CD
.
Ответ. \frac{16}{\sqrt{5}}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей радиусов 5 и 3 соответственно. Треугольник AO_{1}O_{2}
прямоугольный с прямым углом при вершине O_{2}
, так как
O_{2}B^{2}+O_{1}O_{2}^{2}=9+16=25=O_{1}B^{2}.
Линия центров O_{1}O_{2}
пересекающихся окружностей проходит через середину их общей хорды AB
и перпендикулярна ей (см. задачу 1130), поэтому центральный угол O_{1}O_{2}A
меньшей окружности опирается на половину дуги AB
этой же окружности. Вписанный угол BDA
равен половине угловой величины дуги AB
, на которую опирается, поэтому
\angle CDA=\angle BDA=\angle O_{1}O_{2}A=90^{\circ}.
Вписанный в большую окружность угол ACB
равен половине центрального угла AO_{1}B
этой же окружности, поэтому
\angle ACD=\angle ACB=\angle AO_{1}O_{2}.
Значит, прямоугольные треугольники ADC
и AO_{2}O_{1}
подобны, причём коэффициент подобия равен отношению их биссектрис AB
и AE
, проведённых из общей вершины A
.
Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (см. задачу 1509), т. е.
\frac{O_{1}E}{EO_{2}}=\frac{AO_{1}}{AO_{2}}=\frac{5}{3}~\Rightarrow~O_{2}E=O_{1}O_{2}\cdot\frac{O_{2}E}{O_{1}O_{2}}=4\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{2}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AO_{2}E
находим
AE=\sqrt{AO_{2}^{2}+O_{2}E^{2}}=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}.
Значит, коэффициент подобия k
треугольников ADC
и AO_{2}O_{1}
равен \frac{AB}{AE}=\frac{6}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}
. Следовательно,
CD=kO_{1}O_{2}=\frac{4}{\sqrt{5}}\cdot4=\frac{16}{\sqrt{5}}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1987, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987, с. 215, задача 3, вариант 2