17460. Дан прямоугольник ABCD
. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC
и ACD
, равны 2. Расстояние между центрами окружностей равно 5. Найдите стороны прямоугольника.
Ответ. \frac{5+\sqrt{41}}{2}
, \frac{11+\sqrt{41}}{2}
,
Решение. Обозначим AB=CD=a
, BC=AD=b
(b\gt a
) и AC=c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
. Пусть вписанные в треугольники ABC
и ACD
окружности с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
и радиусом r=2
касаются диагонали AC
в точках M
и N
соответственно, F
— проекция точки O_{2}
на прямую O_{1}M
. Тогда (см. задачи 219 и 217)
AM=CN=\frac{a+c-b}{2},~4=2r=a+b-c~\Rightarrow
\Rightarrow~MN=AC-2AM=c-(a+c-b)=b-a,
а так как по теореме Пифагора
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}~\mbox{и}~MN=O_{2}F=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}F^{2}}=\sqrt{25-16}=3,
получаем систему
\syst{b-a=3\\a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}}=4\\b\gt a}~\Leftrightarrow~\syst{b=a+3\\2a-1=\sqrt{2a^{2}+6a+9}\\b\gt a}~\Leftrightarrow~\syst{b=a+3\\a^{2}-5a-4=0\\b\gt a\geqslant\frac{1}{2},}
из которой находим a=\frac{5+\sqrt{41}}{2}
и b=\frac{11+\sqrt{41}}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1994, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994, с. 230, задача 3, вариант 1