17500. В треугольнике ABC
с углом 100^{\circ}
при вершине A
медианы BK
и CN
пересекаются в точке M
. Прямая, проходящая через точку M
и параллельная BC
, пересекает описанную окружность треугольника AKN
в точках P
и Q
. Найдите сумму углов BPC
и BQC
.
Ответ. 280^{\circ}
.
Решение. Обозначим через R
точку пересечения прямой PQ
с отрезком BN
. Заметим, что NK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому NK\parallel BC\parallel PQ
. Значит, по теореме Фалеса
\frac{RN}{RB}=\frac{MK}{MB}=\frac{1}{2}.
Обозначим RN=x
. Тогда
BR=2x,~BN=AN=3x,~AR=4x.
Четырёхугольник ANPQ
вписанный, поэтому (см. задачу 2636)
RP\cdot RQ=RN\cdot RA=x\cdot4x=(2x)^{2}=BR^{2}.
Значит, прямая BR
касается описанной окружности треугольника BPM
(см. задачу 4776), поэтому
\angle ABP=\angle BQP=\angle QBC,
а тогда и \angle ABQ=\angle CBP
. Рассуждая аналогично, получаем, что \angle ACP=\angle QCB
. Следовательно,
\angle BPC+\angle BQC=180^{\circ}-\angle PBC-\angle PCB+180^{\circ}-\angle QBC-\angle QCB=
=360^{\circ}-\angle PBC-\angle PCB-\angle PBA-\angle PCA=180^{\circ}+\angle BAC=280^{\circ}.
Автор: Бельский К. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, 31 января 2025, региональный этап, первый день, задача 5, 11 класс