17500. В треугольнике
ABC
с углом
100^{\circ}
при вершине
A
медианы
BK
и
CN
пересекаются в точке
M
. Прямая, проходящая через точку
M
и параллельная
BC
, пересекает описанную окружность треугольника
AKN
в точках
P
и
Q
. Найдите сумму углов
BPC
и
BQC
.
Ответ.
280^{\circ}
.
Решение. Обозначим через
R
точку пересечения прямой
PQ
с отрезком
BN
. Заметим, что
NK
— средняя линия треугольника
ABC
, поэтому
NK\parallel BC\parallel PQ
. Значит, по теореме Фалеса
\frac{RN}{RB}=\frac{MK}{MB}=\frac{1}{2}.

Обозначим
RN=x
. Тогда
BR=2x,~BN=AN=3x,~AR=4x.

Четырёхугольник
ANPQ
вписанный, поэтому (см. задачу 2636)
RP\cdot RQ=RN\cdot RA=x\cdot4x=(2x)^{2}=BR^{2}.

Значит, прямая
BR
касается описанной окружности треугольника
BPM
(см. задачу 4776), поэтому
\angle ABP=\angle BQP=\angle QBC,

а тогда и
\angle ABQ=\angle CBP
. Рассуждая аналогично, получаем, что
\angle ACP=\angle QCB
. Следовательно,
\angle BPC+\angle BQC=180^{\circ}-\angle PBC-\angle PCB+180^{\circ}-\angle QBC-\angle QCB=

=360^{\circ}-\angle PBC-\angle PCB-\angle PBA-\angle PCA=180^{\circ}+\angle BAC=280^{\circ}.

Автор: Бельский К. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, 31 января 2025, региональный этап, первый день, задача 5, 11 класс