17507. Дана окружность
\omega_{1}
, а внутри неё — окружность
\omega_{2}
. Выбирают произвольную окружность
\omega_{3}
, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью
\omega_{2}
проводят касательную к
\omega_{2}
и получают хорду окружности
\omega_{3}
. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности
\omega_{3}
) лежат на фиксированной окружности.
Решение. Пусть
A
и
B
— точки касания окружности
\omega_{3}
с окружностями
\omega_{2}
и
\omega_{1}
соответственно,
C
— точка пересечения отрезка
AB
с окружностью
\omega_{2}
, и
PQ
— хорда окружности
\omega_{3}
, касающаяся
\omega_{2}
в точке
C
.
Для каждой пары из окружностей
\omega_{1}
,
\omega_{2}
,
\omega_{3}
рассмотрим центр гомотетии, переводящий одну окружность в другую. По теореме о трёх гомотетиях (см. задачу 6434), эти три точки лежат на одной прямой. Поскольку центр гомотетии, переводящей касающиеся окружности одна в другую, совпадает с их точкой касания (см. задачу 6401), получаем, что отрезок
AB
проходит через центр
H
гомотетии, переводящей окружность
\omega_{1}
в окружность
\omega_{2}
. Тогда хорда
PQ
окружности
\omega_{3}
, касающаяся окружности
\omega_{2}
, параллельна проходящей через точку
B
касательной к окружности
\omega_{1}
, а серединный перпендикуляр к хорде
PQ
проходит через центр
O
окружности
\omega_{1}
.
Пусть
M
— середина хорды
PQ
. Не теряя общности, предполагаем, что точка
M
лежит на отрезке
CQ
. Тогда
OP^{2}=OM^{2}+MP^{2}=(OC^{2}-CM^{2})+MP^{2}=OC^{2}+(MP^{2}-CM^{2})=

=OC^{2}+(MP-CM)(MP+CM)=OC^{2}+PC\cdot CQ=OC^{2}+AC\cdot BC.

Докажем, что эта величина не зависит от выбора окружности
\omega_{3}
, т. е. концы всех хорд
PQ
равноудалены от точки
O
. Для этого продлим
CA
до пересечения с
\omega_{1}
в точке
D
. Пусть
R
и
r
— радиусы окружностей
\omega_{1}
и
\omega_{2}
соответственно. Тогда
AC\cdot BC=(CD-AD)\cdot BC=CD\cdot BC-AD\cdot BC.

Заметим, что
CD\cdot BC=R^{2}-OC^{2}
— степень точки
C
относительно окружности
\omega_{1}
, поэтому
OP^{2}=R^{2}-AD\cdot BC
. Осталось доказать, что величина
AD\cdot BC
не зависит от выбора
\omega_{1}
.
Поскольку
H
— центр гомотетии, переводящий окружность
\omega_{1}
в окружность
\omega_{2}
, то
\frac{R}{r}=\frac{HD}{HA}=1+\frac{AD}{HA}~\Rightarrow~AD=HA\cdot\left(\frac{R}{r}-1\right).

Аналогично,
BC=HC\cdot\left(\frac{R}{r}-1\right)
· Тогда
AD\cdot BC=\left(\frac{R}{r}-1\right)^{2}\cdot HA\cdot HC=\left(\frac{R}{r}-1\right)^{2}\cdot s,

где
s
— степень точки
H
относительно окружности
\omega_{2}
, т. е. величина, не зависящая от выбора
\omega_{3}
.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Турнир городов. — 2024-2025, XLVI, осенний тур, 6 октября, сложный вариант, 10-11 классы, задача 5