17507. Дана окружность \omega_{1}
, а внутри неё — окружность \omega_{2}
. Выбирают произвольную окружность \omega_{3}
, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью \omega_{2}
проводят касательную к \omega_{2}
и получают хорду окружности \omega_{3}
. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности \omega_{3}
) лежат на фиксированной окружности.
Решение. Пусть A
и B
— точки касания окружности \omega_{3}
с окружностями \omega_{2}
и \omega_{1}
соответственно, C
— точка пересечения отрезка AB
с окружностью \omega_{2}
, и PQ
— хорда окружности \omega_{3}
, касающаяся \omega_{2}
в точке C
.
Для каждой пары из окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
, \omega_{3}
рассмотрим центр гомотетии, переводящий одну окружность в другую. По теореме о трёх гомотетиях (см. задачу 6434), эти три точки лежат на одной прямой. Поскольку центр гомотетии, переводящей касающиеся окружности одна в другую, совпадает с их точкой касания (см. задачу 6401), получаем, что отрезок AB
проходит через центр H
гомотетии, переводящей окружность \omega_{1}
в окружность \omega_{2}
. Тогда хорда PQ
окружности \omega_{3}
, касающаяся окружности \omega_{2}
, параллельна проходящей через точку B
касательной к окружности \omega_{1}
, а серединный перпендикуляр к хорде PQ
проходит через центр O
окружности \omega_{1}
.
Пусть M
— середина хорды PQ
. Не теряя общности, предполагаем, что точка M
лежит на отрезке CQ
. Тогда
OP^{2}=OM^{2}+MP^{2}=(OC^{2}-CM^{2})+MP^{2}=OC^{2}+(MP^{2}-CM^{2})=
=OC^{2}+(MP-CM)(MP+CM)=OC^{2}+PC\cdot CQ=OC^{2}+AC\cdot BC.
Докажем, что эта величина не зависит от выбора окружности \omega_{3}
, т. е. концы всех хорд PQ
равноудалены от точки O
. Для этого продлим CA
до пересечения с \omega_{1}
в точке D
. Пусть R
и r
— радиусы окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. Тогда
AC\cdot BC=(CD-AD)\cdot BC=CD\cdot BC-AD\cdot BC.
Заметим, что CD\cdot BC=R^{2}-OC^{2}
— степень точки C
относительно окружности \omega_{1}
, поэтому OP^{2}=R^{2}-AD\cdot BC
. Осталось доказать, что величина AD\cdot BC
не зависит от выбора \omega_{1}
.
Поскольку H
— центр гомотетии, переводящий окружность \omega_{1}
в окружность \omega_{2}
, то
\frac{R}{r}=\frac{HD}{HA}=1+\frac{AD}{HA}~\Rightarrow~AD=HA\cdot\left(\frac{R}{r}-1\right).
Аналогично, BC=HC\cdot\left(\frac{R}{r}-1\right)
· Тогда
AD\cdot BC=\left(\frac{R}{r}-1\right)^{2}\cdot HA\cdot HC=\left(\frac{R}{r}-1\right)^{2}\cdot s,
где s
— степень точки H
относительно окружности \omega_{2}
, т. е. величина, не зависящая от выбора \omega_{3}
.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Турнир городов. — 2024-2025, XLVI, осенний тур, 6 октября, сложный вариант, 10-11 классы, задача 5