17516. На гипотенузе
BC
прямоугольного треугольника
ABC
выбраны точки
P
и
Q
, причём
AB=BP
,
AC=CQ
. Внутри треугольника
ABC
выбрана точка
D
, для которой
DP=DQ
, а
\angle PDQ=90^{\circ}
. Найдите
\angle DBC
, если известно, что
\angle DCB=20^{\circ}
.
Ответ.
25^{\circ}
.
Решение. Обозначим
AC=b
,
AB=c
,
BC=a
,
p=\frac{a+b+c}{2}
. Тогда
BC=BP+CQ-PQ~\Rightarrow~PQ=BP+CQ-BC=c+b-a=2r,

где
r
— радиус вписанной окружности треугольника
ABC
(см. задачу 217).
Пусть
G
— точка касания вписанной окружности с гипотенузой
BC
. Тогда (см. задачу 219)
BG=p-AC=p-b=\frac{a+c-b}{2}~\Rightarrow~PG=BP-BG=c-\frac{c+a-b}{2}=\frac{b+c-a}{2},

поэтому
QG=PQ-PG=(c+b-a)-\frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c-a}{2},

т. е.
G
— середина отрезка
PQ
и
G=GQ=r
.
Треугольник
PDQ
прямоугольный и равнобедренный, поэтому
DG=\frac{1}{2}PQ=r
. Это значит, что
D
центр вписанной окружности в треугольник
ABC
, т. е.
D
— точка пересечения его биссектрис. Значит (см. задачу 4770),
\angle BDC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle PDQ=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.

Следовательно,
\angle DBC=180^{\circ}-20^{\circ}-\angle DCB=45^{\circ}-20^{\circ}=25^{\circ}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 10 класс, заключительный этап, задача 7, вариант 5