17516. На гипотенузе BC
прямоугольного треугольника ABC
выбраны точки P
и Q
, причём AB=BP
, AC=CQ
. Внутри треугольника ABC
выбрана точка D
, для которой DP=DQ
, а \angle PDQ=90^{\circ}
. Найдите \angle DBC
, если известно, что \angle DCB=20^{\circ}
.
Ответ. 25^{\circ}
.
Решение. Обозначим AC=b
, AB=c
, BC=a
, p=\frac{a+b+c}{2}
. Тогда
BC=BP+CQ-PQ~\Rightarrow~PQ=BP+CQ-BC=c+b-a=2r,
где r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 217).
Пусть G
— точка касания вписанной окружности с гипотенузой BC
. Тогда (см. задачу 219)
BG=p-AC=p-b=\frac{a+c-b}{2}~\Rightarrow~PG=BP-BG=c-\frac{c+a-b}{2}=\frac{b+c-a}{2},
поэтому
QG=PQ-PG=(c+b-a)-\frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c-a}{2},
т. е. G
— середина отрезка PQ
и G=GQ=r
.
Треугольник PDQ
прямоугольный и равнобедренный, поэтому DG=\frac{1}{2}PQ=r
. Это значит, что D
центр вписанной окружности в треугольник ABC
, т. е. D
— точка пересечения его биссектрис. Значит (см. задачу 4770),
\angle BDC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle PDQ=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.
Следовательно,
\angle DBC=180^{\circ}-20^{\circ}-\angle DCB=45^{\circ}-20^{\circ}=25^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 10 класс, заключительный этап, задача 7, вариант 5