17522. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с диаметром AB
, а H
— ортогональная проекция D
на прямую AB
. Диагональ AC
пересекает отрезок DH
в точке X
. Найдите CD
, если DX=20
, AX=15
, CX=36
.
Ответ. 4\sqrt{85}
.
Решение. Точка D
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому треугольник ADB
прямоугольный с прямым углом при вершине D
. Тогда (см. задачу 2728) AD^{2}=AH\cdot AB
. Аналогично, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
.
Прямоугольные треугольники AXH
и ABC
с общим острым углом при вершине A
подобны. Значит,
\frac{AH}{AX}=\frac{AC}{AB}~\Leftrightarrow~AH\cdot AB=AX\cdot AC,
поэтому
AD^{2}=AH\cdot AB~\Leftrightarrow~\frac{AX}{AD}=\frac{AD}{AC}.
Значит, треугольники DAX
и CAD
с общим углом при вершине A
подобны. Тогда \frac{AX}{AD}=\frac{DX}{CD}
, а также
\frac{AD}{AX}=\frac{AC}{AD}~\Leftrightarrow~AD=\sqrt{AX\cdot AC}.
Следовательно,
CD=DX\cdot\frac{AD}{AX}=DX\cdot\frac{\sqrt{AX\cdot AC}}{AX}=DX\cdot\frac{\sqrt{AX\cdot(AX+XC)}}{AX}=
=DX\cdot\sqrt{1+\frac{CX}{AX}}=20\sqrt{1+\frac{36}{15}}=20\sqrt{\frac{17}{5}}=4\sqrt{85}.
Примечание. Подобие треугольников DAX
и CAD
можно обосновать следующим образом. Прямая AD
— касательная к описанной окружности треугольника DBH
(см. задачу 4776), а XCBH
— вписанный четырёхугольник, поэтому
AD^{2}=AH\cdot AB=AX\cdot(AX+XC).
Поскольку AD^{2}=AC\cdot AX
, из равенства отношений \frac{AD}{AX}=\frac{AC}{AD}
и следует требуемое подобие.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 10 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 13