17522. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность с диаметром
AB
, а
H
— ортогональная проекция
D
на прямую
AB
. Диагональ
AC
пересекает отрезок
DH
в точке
X
. Найдите
CD
, если
DX=20
,
AX=15
,
CX=36
.
Ответ.
4\sqrt{85}
.
Решение. Точка
D
лежит на окружности с диаметром
AB
, поэтому треугольник
ADB
прямоугольный с прямым углом при вершине
D
. Тогда (см. задачу 2728)
AD^{2}=AH\cdot AB
. Аналогично, треугольник
ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине
C
.
Прямоугольные треугольники
AXH
и
ABC
с общим острым углом при вершине
A
подобны. Значит,
\frac{AH}{AX}=\frac{AC}{AB}~\Leftrightarrow~AH\cdot AB=AX\cdot AC,

поэтому
AD^{2}=AH\cdot AB~\Leftrightarrow~\frac{AX}{AD}=\frac{AD}{AC}.

Значит, треугольники
DAX
и
CAD
с общим углом при вершине
A
подобны. Тогда
\frac{AX}{AD}=\frac{DX}{CD}
, а также
\frac{AD}{AX}=\frac{AC}{AD}~\Leftrightarrow~AD=\sqrt{AX\cdot AC}.

Следовательно,
CD=DX\cdot\frac{AD}{AX}=DX\cdot\frac{\sqrt{AX\cdot AC}}{AX}=DX\cdot\frac{\sqrt{AX\cdot(AX+XC)}}{AX}=

=DX\cdot\sqrt{1+\frac{CX}{AX}}=20\sqrt{1+\frac{36}{15}}=20\sqrt{\frac{17}{5}}=4\sqrt{85}.

Примечание. Подобие треугольников
DAX
и
CAD
можно обосновать следующим образом. Прямая
AD
— касательная к описанной окружности треугольника
DBH
(см. задачу 4776), а
XCBH
— вписанный четырёхугольник, поэтому
AD^{2}=AH\cdot AB=AX\cdot(AX+XC).

Поскольку
AD^{2}=AC\cdot AX
, из равенства отношений
\frac{AD}{AX}=\frac{AC}{AD}
и следует требуемое подобие.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 10 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 13