17549. Точка C
лежит на полуокружности с диаметром AB
. Окружность, вписанная в треугольник ABC
касается его сторон AC
, BC
и AB
в точках K
, L
и M
соответственно. Найдите угол KML
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
. Пусть I
— центр его вписанной окружности. Тогда AI
и BI
— биссектрисы острых углов треугольника ABC
(см. задачу 1192), поэтому (см. задачу 4770)
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.
Пусть лучи AI
и BI
пересекают отрезки KM
и LM
в точках P
и Q
соответственно. Тогда в четырёхугольнике IPMG
углы при вершинах P
и Q
прямые (см. задачу 1180), поэтому сумма двух его других его углов равна 180^{\circ}
. Следовательно,
\angle KML=180^{\circ}-\angle AIB=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2019, 8-9 классы