17549. Точка
C
лежит на полуокружности с диаметром
AB
. Окружность, вписанная в треугольник
ABC
касается его сторон
AC
,
BC
и
AB
в точках
K
,
L
и
M
соответственно. Найдите угол
KML
.
Ответ.
45^{\circ}
.
Решение. Треугольник
ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине
C
. Пусть
I
— центр его вписанной окружности. Тогда
AI
и
BI
— биссектрисы острых углов треугольника
ABC
(см. задачу 1192), поэтому (см. задачу 4770)
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.

Пусть лучи
AI
и
BI
пересекают отрезки
KM
и
LM
в точках
P
и
Q
соответственно. Тогда в четырёхугольнике
IPMG
углы при вершинах
P
и
Q
прямые (см. задачу 1180), поэтому сумма двух его других его углов равна
180^{\circ}
. Следовательно,
\angle KML=180^{\circ}-\angle AIB=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}.

Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2019, 8-9 классы